При оценки вероятности наступления какого-либо случайного события очень важно предварительно хорошо представлять, зависит ли вероятность (вероятность события) наступления интересующего нас события от того, как развиваются остальные события. В случае классической схемы, когда все исходы равновероятны, мы уже можем оценить значения вероятности интересующего нас отдельного события самостоятельно. Мы можем сделать это даже в том случае, если событие является сложной совокупностью нескольких элементарных исходов. А если несколько случайных событий происходит одновременно или последовательно? Как это влияет на вероятность реализации интересующего нас события? Если я несколько раз кидаю игральную кость, и хочу, чтобы выпала "шестерка", а мне все время не везет, значит ли это, что надо увеличивать ставку, потому что, согласно теории вероятностей, мне вот-вот должно повезти? Увы, теория вероятности не утверждает ничего подобного. Ни кости, ни карты, ни монетки не умеют запоминать, что они продемонстрировали нам в прошлый раз. Им совершенно не важно, в первый раз или в десятый раз сегодня я испытываю свою судьбу. Каждый раз, когда я повторяю бросок, я знаю только одно: и на этот раз вероятность выпадения "шестерки" снова равна одной шестой. Конечно, это не значит, что нужная мне цифра не выпадет никогда. Это означает лишь то, что мой проигрыш после первого броска и после любого другого броска - независимые события. События А и В называются независимыми, если реализация одного из них никак не влияет на вероятность другого события. Например, вероятности поражения цели первым из двух орудий не зависят от того, поразило ли цель другое орудие, поэтому события "первое орудие поразило цель" и "второе орудие поразило цель" независимы. Если два события А и В независимы, и вероятность каждого из них известна, то вероятность одновременного наступления и события А, и события В (обозначается АВ) можно посчитать, воспользовавшись следующей теоремой.

Теорема умножения вероятностей для независимых событий

P(AB) = P(A)*P(B) вероятность одновременного наступления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

Пример 1 . Вероятности попадания в цель при стрельбе первого и второго орудий соответственно равны: р 1 = 0,7; р 2 = 0,8. Найти вероятность попадания при одном залпе обоими орудиями одновременно.

как мы уже видели события А (попадание первого орудия) и В (попадание второго орудия) независимы, т.е. Р(АВ)=Р(А)*Р(В)=р1*р2=0,56. Что произойдет с нашими оценками, если исходные события не являются независимыми? Давайте немного изменим предыдущий пример.

Пример 2. Два стрелка на соревнованиях стреляют по мишеням, причем, если один из них стреляет метко, то соперник начинает нервничать, и его результаты ухудшаются. Как превратить эту житейскую ситуацию в математическую задачу и наметить пути ее решения? Интуитивно понятно, что надо каким-то образом разделить два варианта развития событий, составить по сути дела два сценария, две разные задачи. В первом случае, если соперник промахнулся, сценарий будет благоприятный для нервного спортсмена и его меткость будет выше. Во втором случае, если соперник прилично реализовал свой шанс, вероятность поразить мишень для второго спортсмена снижается. Для разделения возможных сценариев (их часто называют гипотезами) развития событий мы будем часто использовать схему "дерева вероятностей". Эта схема похожа по смыслу на дерево решений, с которым Вам, наверное, уже приходилось иметь дело. Каждая ветка представляет собой отдельный сценарий развития событий, только теперь она имеет собственное значение так называемой условной вероятности (q 1 , q 2 , q 1 -1, q 2 -1).

Эта схема очень удобна для анализа последовательных случайных событий. Остается выяснить еще один немаловажный вопрос: откуда берутся исходные значения вероятностей в реальных ситуациях? Ведь не с одними же монетами и игральными костями работает теория вероятностей? Обычно эти оценки берутся из статистики, а когда статистические сведения отсутствуют, мы проводим собственное исследование. И начинать его нам часто приходится не со сбора данных, а с вопроса, какие сведения нам вообще нужны.

Пример 3. Допустим, нам надо оценить в городе с населением в сто тысяч жителей объем рынка для нового товара, который не является предметом первой необходимости, например, для бальзама по уходу за окрашенными волосами. Рассмотрим схему "дерева вероятностей". При этом значение вероятности на каждой "ветке" нам надо приблизительно оценить. Итак, наши оценки емкости рынка:

1) из всех жителей города женщин 50%,

2) из всех женщин только 30% красят волосы часто,

3) из них только 10% пользуются бальзамами для окрашенных волос,

4) из них только 10% могут набраться смелости попробовать новый товар,

5) из них 70% обычно покупает все не у нас, а у наших конкурентов.

По закону перемножения вероятностей, определяем вероятность интересующего нас события А ={житель города покупает у нас этот новый бальзам}=0,00045. Умножим это значение вероятности на число жителей города. В результате имеем всего 45 потенциальных покупательниц, а если учесть, что одного пузырька этого средства хватает на несколько месяцев, не слишком оживленная получается торговля. И все-таки польза от наших оценок есть. Во-первых, мы можем сравнивать прогнозы разных бизнес-идей, на схемах у них будут разные "развилки", и, конечно, значения вероятности тоже будут разные. Во-вторых, как мы уже говорили, случайная величина не потому называется случайной, что она совсем ни от чего не зависит. Просто ее точное значение заранее не известно. Мы знаем, что среднее количество покупателей может быть увеличено (например, с помощью рекламы нового товара). Так что имеет смысл сосредоточить усилия на тех "развилках", где распределение вероятностей нас особенно не устраивает, на тех факторах, на которые мы в состоянии повлиять. Рассмотрим еще один количественный пример исследования покупательского поведения.

Пример 3. За день продовольственный рынок посещает в среднем 10000 человек. Вероятность того, что посетитель рынка заходит в павильон молочных продуктов, равна 1/2. Известно, что в этом павильоне в среднем продается в день 500 кг различных продуктов. Можно ли утверждать, что средняя покупка в павильоне весит всего 100 г?

Обсуждение.

Конечно, нельзя. Понятно, что не каждый, кто заходил в павильон, в результате что-то там купил.

Как показано на схеме, чтобы ответить на вопрос о среднем весе покупки, мы должны найти ответ на вопрос, какова вероятность того, что человек, зашедший в павильон, что-нибудь там купит. Если таких данных в нашем распоряжении не имеется, а нам они нужны, придется их получить самим, понаблюдав некоторое время за посетителями павильона. Допустим, наши наблюдения показали, что только пятая часть посетителей павильона что-то покупает. Как только эти оценки нами получены, задача становится уже простой. Из 10000 человек, пришедших на рынок, 5000 зайдут в павильон молочных продуктов, покупок будет только 1000. Средний вес покупки равен 500 грамм. Интересно отметить, что для построения полной картины происходящего, логика условных "ветвлений" должна быть определена на каждом этапе нашего рассуждения так же четко, как если бы мы работали с "конкретной" ситуацией, а не с вероятностями.

Задачи для самопроверки.

1. Пусть есть электрическая цепь, состоящая из n последовательно соединенных элементов, каждый из которых работает независимо от остальных. Известна вероятность p невыхода из строя каждого элемента. Определите вероятность исправной работы всего участка цепи (событие А).

2. Студент знает 20 из 25 экзаменационных вопросов. Найдите вероятность того, что студент знает предложенные ему экзаменатором три вопроса.

3. Производство состоит из четырех последовательных этапов, на каждом из которых работает оборудование, для которого вероятности выхода из строя в течение ближайшегомесяца равны соответственно р 1 , р 2 , р 3 и р 4 . Найдите вероятность того, что за месяц не случится ни одной остановки производства из-за неисправности оборудования.

Классическое определение вероятности.

Вероятность события –это количественная мера, которая вводится для сравнения событий по степени возможности их появления.

Событие, представимое в виде совокупности (суммы) нескольких элементарных событий, называется составным.

Событие, которое нельзя разбить на более простые, называется элементарным.

Событие называется невозможным, если оно не происходит никогда в условиях данного эксперимента (испытания).

Достоверные и невозможные события не являются случайными.

Совместные события – несколько событий называют совместными, если в результате эксперимента наступление одного из них не исключает появления других.

Несовместные события – несколько событий называют несовместными в данном эксперименте, если появление одного из них исключает появление других. Два события называются противоположными, если одно из них происходит тогда и только тогда, когда не происходит другое.

Вероятностью события А – Р(А) – называется отношение числа m элементарных событий (исходов), благоприятствующих появлению события А, к числу n всех элементарных событий в условиях данного вероятностного эксперимента.

Из определения вытекают следующие свойства вероятности:

1.Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между 0 и 1:

2. Вероятность достоверного события равна 1: (3)

3. Если событие невозможное, то его вероятность равна

4. Если события и несовместны, то

5. Если события А и В совместны, то вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного наступления:

Р(А+В) = Р(А) +Р(В) - Р(АВ) (6)

6. Если и - противоположные события, то (7)

7. Сумма вероятностей событий А 1 , А 2 , …, А n , образующих полную группу, равна 1:

Р(А 1) + Р(А 2) + …+ Р(А n) = 1. (8)

В экономических исследованиях значения и в формуле могут интерпретироваться по-другому. При статистическом определении вероятности события под понимается количество наблюдений результатов эксперимента, в которых событие встречалось ровно раз. В этом случае отношение называется относительной частотой (частостью) события

События А, В называются независимыми , если вероятности каждого из них не зависит от того, произошло или нет другое событие. Вероятности независимых событий называются безусловными .

События А, В называются зависимыми , если вероятность каждого из них зависит от того, произошло или нет другое событие. Вероятность события В, вычисленная в предположении, что другое событие А уже осуществилось, называется условной вероятностью .

Если два события А и В – независимые, то справедливы равенства:

Р(В) = Р(В/А), Р(А) = Р(А/В) или Р(В/А) – Р(В) = 0 (9)

Вероятность произведения двух зависимых событий А, В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого:

Р(АВ) = Р(В) ∙ Р(А/В) или Р(АВ) = Р(А) ∙ Р(В/А) (10)

Вероятность события В при условии появления события А:

Вероятность произведения двух независимых событий А, В равна произведению их вероятностей:

Р(АВ) = Р(А) ∙ Р(В) (12)

Если несколько событий попарно независимы, то отсюда еще не следует их независимость в совокупности.

События А 1 , А 2 , …, А n (n>2) называются независимыми в совокупности, если вероятность каждого из них не зависит от того, произошли или нет любые события из числа остальных.

Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий:

Р(А 1 ∙А 2 ∙А 3 ∙…∙А n) = Р(А 1)∙Р(А 2)∙Р(А 3)∙…∙Р(А n). (13)

Начнём с независимых событий. События являются независимыми , если вероятность наступления любого из них не зависит от появления/непоявления остальных событий рассматриваемого множества (во всех возможных комбинациях).

Теорема умножения вероятностей независимых событий : вероятность совместного появления независимых событий А и В равна произведению вероятностей этих событий: Р(АВ) = Р(А) × Р(В)

Вернёмся к простейшему примеру 1-го урока, в котором подбрасываются две монеты и следующим событиям:

– в результате броска на 1-й монете выпадет орёл;
– в результате броска на 2-й монете выпадет орёл.

Найдём вероятность события А 1 А 2 (на 1-й монете появится орёл и на 2-й монете появится орёл – вспоминаем, как читается произведение событий !) . Вероятность выпадения орла на одной монете никак не зависит от результата броска другой монеты, следовательно, события А 1 и А 2 независимы. По теореме умножения вероятностей независимых событий:

Р(А 1 А 2) = Р(А 1) × Р(А 2) = × =
Аналогично:

= × = × = – вероятность того, что на 1-й монете выпадет решка и на 2-й решка;

= × = × = – вероятность того, что на 1-й монете появится орёл и на 2-ой решка;

= × = × = – вероятность того, что на 1-й монете появится решка и на 2-ой орёл.

Заметьте, что события , , , образуют полную группу и сумма их вероятностей равна единице: + + + = = 1

Теорема умножения очевидным образом распространяется и на бо льшее количество независимых событий, так, например, если события А, В, С независимы, то вероятность их совместного наступления равна: Р(АВС) = Р(А) × Р(В)×Р(С).

Задача 3

В каждом из трех ящиков имеется по 10 деталей. В первом ящике 8 стандартных деталей, во втором – 7, в третьем – 9. Из каждого ящика наудачу извлекают по одной детали. Найти вероятность того, что все детали окажутся стандартными.

Решение : вероятность извлечения стандартной или нестандартной детали из любого ящика не зависит от того, какие детали будут извлечены из других ящиков, поэтому в задаче речь идёт о независимых событиях. Рассмотрим следующие независимые события:

S 1 – из 1-го ящика извлечена стандартная деталь;

S 2 – из 2-го ящика извлечена стандартная деталь;

S 3 – из 3-го ящика извлечена стандартная деталь.

По классическому определению: Р(S 1) = = 0,8; Р(S 2) = = 0,7; Р(S 3) = = 0,9; – соответствующие вероятности.

Интересующее нас событие (из 1-го ящика будет извлечена стандартная деталь и из 2-го стандартная и из 3-го стандартная) выражается произведением S 1 S 2 S 3 .

По теореме умножения вероятностей независимых событий:

Р(S 1 S 2 S 3) = Р(S 1) × Р(S 2) × Р(S 3) = 0,8 × 0,7 × 0,9 = 0,504 – вероятность того, что из 3-х ящиков будет извлечено по одной стандартной детали.

Ответ : вероятность того, что все детали окажутся стандартными, равна 0,504

Задача 4(для самостоятельного решения)

В трех урнах имеется по 6 белых и по 4 черных шара. Из каждой урны извлекают наудачу по одному шару. Найти вероятность того, что: а) все три шара будут белыми; б) все три шара будут одного цвета.

Опираясь на полученную информацию, догадайтесь, как разобраться с пунктом «бэ». Примерный образец решения оформлен в академичном стиле с подробной росписью всех событий дан в конце урока.

Зависимые события . Событие Х называют зависимым , если его вероятность Р(Х) зависит от одного или бо льшего количества событий, которые уже произошли. За примерами далеко ходить не надо – достаточно дойти до ближайшего магазина:

Х – завтра в 19.00 в продаже будет свежий хлеб.

Вероятность этого события зависит от множества других событий: завезут ли завтра свежий хлеб, раскупят ли его до 7 вечера или нет и т.д. В зависимости от различных обстоятельств данное событие может быть как достоверным Р(Х) = 1, так и невозможным Р(Х) = 0. Таким образом, событие Х является зависимым .

Другой пример, В – на экзамене студенту достанется простой билет.

Если идти не самым первым, то событие В будет зависимым, поскольку его вероятность Р(В) будет зависеть от того, какие билеты уже вытянули однокурсники.

Определения вероятности

Классическое определение

Классическое "определение" вероятности исходит из понятия равновозможности как объективного свойства изучаемых явлений. Равновозможность является неопределяемым понятием и устанавливается из общих соображений симметрии изучаемых явлений. Например, при подбрасывании монетки исходят из того, что в силу предполагаемой симметрии монетки, однородности материала и случайности (непредвзятости) подбрасывания нет никаких оснований для предпочтения "решки" перед "орлом" или наоборот, то есть выпадение этих сторон можно считать равновозможными (равновероятными).

Наряду с понятием равновозможности в общем случае для классического определения необходимо также понятие элементарного события (исхода), благоприятствующего или нет изучаемому событию A. Речь идет об исходах, наступление которых исключает возможность наступления иных исходов. Это несовместимые элементарные события. К примеру при бросании игральной кости выпадение конкретного числа исключает выпадение остальных чисел.

Классическое определение вероятности можно сформулировать следующим образом:

Вероятностью случайного события A называется отношение числа n несовместимых равновероятных элементарных событий, составляющих событие A, к числу всех возможных элементарных событий N:

Например, пусть подбрасываются две кости. Общее количество равновозможных исходов (элементарных событий) равно очевидно 36 (6 возможностей на каждой кости). Оценим вероятность выпадения 7 очков. Получение 7 очков возможно следующими способами: 1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1. То есть всего 6 равновозможных исходов, благоприятствующих событию A - получению 7 очков. Следовательно, вероятность будет равна 6/36=1/6. Для сравнения вероятность получения 12 очков или 2 очков равна всего 1/36 - в 6 раз меньше.

Геометрическое определение

Несмотря на то, что классическое определение является интуитивно понятным и выведенным из практики, оно, как минимум не может быть непосредственно применено в случае, если количество равновозможных исходов бесконечно. Ярким примером бесконечного числа возможных исходов является ограниченная геометрическая область G, например, на плоскости, с площадью S. Случайно "подброшенная" "точка" с равной вероятностью может оказаться в любой точке этой области. Задача заключается в определении вероятности попадания точки в некоторую подобласть g с площадью s. В таком случая обобщая классическое определение можно прийти к геометрическому определению вероятности попадания в подобласть :

В виду равновозможности вероятность эта не зависит от формы области g, она зависит только от ее площади. Данное определение естественно можно обобщить и на пространство любой размерности, где вместо площади использовать понятие "объема". Более того, именно такое определение приводит к современному аксиоматическому определению вероятности. Понятие объема обобщается до понятия "меры" некоторого абстрактного множества, к которой предъявляются требования, которыми обладает и "объем" в геометрической интерпретации - в первую очередь, это неотрицательность и аддитивность.

Частотное (статистическое) определение

Классическое определение при рассмотрении сложных проблем наталкивается на трудности непреодолимого характера. В частности, в некоторых случаях выявить равновозможные случаи может быть невозможно. Даже в случае с монеткой, как известно существует явно не равновероятная возможность выпадения "ребра", которую из теоретических соображений оценить невозможно (можно только сказать, что оно маловероятно и то это соображение скорее практическое). Поэтому еще на заре становления теории вероятностей было предложено альтернативное "частотное" определение вероятности. А именно, формально вероятность можно определить как предел частоты наблюдений события A, предполагая однородность наблюдений (то есть одинаковость всех условий наблюдения) и их независимость друг от друга:

где - количество наблюдений, а - количество наступлений события .

Несмотря на то, что данное определение скорее указывает на способ оценки неизвестной вероятности - путем большого количества однородных и независимых наблюдений - тем не менее в таком определении отражено содержание понятия вероятности. А именно, если событию приписывается некоторая вероятность, как объективная мера его возможности, то это означает, что при фиксированных условиях и многократном повторении мы должны получить частоту его появления, близкую к (тем более близкую, чем больше наблюдений). Собственно, в этом заключается исходный смысл понятия вероятности. В основе лежит объективистский взгляд на явления природы. Ниже будут рассмотрены так называемые законы больших чисел, которые дают теоретическую основу (в рамках излагаемого ниже современного аксиоматического подхода) в том числе для частотной оценки вероятности.

Аксиоматическое определение

В современном математическом подходе вероятность задаётся аксиоматикой Колмогорова . Предполагается, что задано некоторое пространство элементарных событий . Подмножества этого пространства интерпретируются как случайные события . Объединение (сумма) некоторых подмножеств (событий) интерпретируется как событие, заключающееся в наступлении хотя бы одного из этих событий. Пересечение (произведение) подмножеств (событий) интерпретируется как событие, заключающееся в наступлении всех этих событий. Непересекающиеся множества интерпретируются как несовместные события (их совместное наступление невозможно). Соответственно, пустое множество означает невозможное событие.

Вероятностью (вероятностной мерой ) называется мера (числовая функция) , заданная на множестве событий, обладющая следующими свойствами:

В случае если пространство элементарных событий X конечно , то достаточно указанного условия аддитивности для произвольных двух несовместных событий, из которого будет следовать аддитивность для любого конечного количества несовместных событий. Однако, в случае бесконечного (счетного или несчетного) пространства элементарных событий этого условия оказывается недостаточно. Требуется так называемая счетная или сигма- аддитивность , то есть выполнение свойства аддитивности для любого не более чем счетного семейства попарно несовместных событий. Это необходимо для обеспечения "непрерывности" вероятностной меры.

Вероятностная мера может быть определена не для всех подмножеств множества . Предполагается, что она определена на некоторой сигма-алгебре подмножеств . Эти подмножества называются измеримыми по данной вероятностной мере и именно они являются случайными событиями. Совокупность - то есть множество элементарных событий, сигма-алгебра его подмножеств и вероятностная мера - называется вероятностным пространством .

Непрерывные случайные величины. Кроме дискретных случайных величин, возможные значения которых образуют конечную или бесконечную последовательность чисел, не заполняющих сплошь никакого интервала, часто встречаются случайные величины, возможные значения которых образуют некоторый интервал. Примером такой случайной величины может служить отклонение от номинала некоторого размера детали при правильно налаженном технологическом процессе. Такого рода, случайные величины не могут быть заданы с помощью закона распределения вероятностей р(х) . Однако их можно задать с помощью функции распределения вероятностей F(х) . Эта функция определяется точно так же, как и в случае дискретной случайной величины:

Таким образом, и здесь функция F(х) определена на всей числовой оси, и ее значение в точке х равно вероятности того, что случайная величина примет значение, меньшее чем х . Формула (19) и свойства 1° и 2° справедливы для функции распределения любой случайной величины. Доказательство проводится аналогично случаю дискретной величины. Случайная величина называется непрерывной , если для нее существует неотрицательная кусочно-непрерывная функция* , удовлетворяющая для любых значений x равенству

Исходя из геометрического смысла интеграла как площади, можно сказать, что вероятность выполнения неравенств равна площади криволинейной трапеции с основанием , ограниченной сверху кривой (рис. 6).

Так как , а на основании формулы (22)

Заметим, что для непрерывной случайной величины функция распределения F(х) непрерывна в любой точке х , где функция непрерывна. Это следует из того, что F(х) в этих точках дифференцируема. На основании формулы (23), полагая x 1 =x , , имеем

В силу непрерывности функции F(х) получим, что

Следовательно

Таким образом, вероятность того, что непрерывная случайная величина может принять любое отдельное значение х, равна нулю . Отсюда следует, что события, заключающиеся в выполнении каждого из неравенств

Имеют одинаковую вероятность, т.е.

В самом деле, например,

так как Замечание. Как мы знаем, если событие невозможно, то вероятность его наступления равна нулю. При классическом определении вероятности, когда число исходов испытания конечно, имеет место и обратное предложение: если вероятность события равна нулю, то событие невозможно, так как в этом случае ему не благоприятствует ни один из исходов испытания. В случае непрерывной случайной величины число возможных ее значений бесконечно. Вероятность того, что эта величина примет какое-либо конкретное значение x 1 как мы видели, равна нулю. Однако отсюда не следует, что это событие невозможно, так как в результате испытания случайная величина может, в частности, принять значение x 1 . Поэтому в случае непрерывной случайной величины имеет смысл говорить о вероятности попадания случайной величины в интервал, а не о вероятности того, что она примет какое-то конкретное значение. Так, например, при изготовлении валика нас не интересует вероятность того, что его диаметр будет равен номиналу. Для нас важна вероятность того, что диаметр валика не выходит из поля допуска. Пример. Плотность распределения непрерывной случайной величины задана следующим образом:

График функции представлен па рис. 7. Определить вероятность того, что случайная величина примет значение, удовлетворяющее неравенствам .Найти функцию распределения заданной случайной величины. (Решение )

Следующие два пункта посвящены часто встречающимся на практике распределениям непрерывных случайных величин - равномерному и нормальному распределениям.

* Функция называется кусочно-непрерывной на всей числовой оси, если она на любом сегменте или непрерывна, или имеет конечное число точек разрыва I рода. ** Правило дифференцирования интеграла с переменной верхней границей, выведенное в случае конечной нижней границы, остается справедливым и для интегралов с бесконечной нижней границей. В самом деле,

Так как интеграл

есть величина постоянная.

Зависимые и независимые события. Условная вероятность

Различают события зависимые и независимые. Два события называются независимыми, если появление одного из них не изменяет вероятность появления другого. Например, если в цехе работают две автоматические линии, по условиям производства не взаимосвязанные, то остановки этих линий являются независимыми событиями.

Пример 3. Монета брошена два раза. Вероятность появления "герба" в первом испытании (событие ) не зависит от появления или не появления "герба" во втором испытании (событие ). В свою очередь, вероятность появления "герба" во втором испытании не зависит от результата первого испытания. Таким образом, события и независимые.

Несколько событий называются независимыми в совокупности , если любое из них не зависит от любого другого события и от любой комбинации остальных.

События называются зависимыми , если одно из них влияет на вероятность появления другого. Например, две производственные установки связаны единым технологическим циклом. Тогда вероятность выхода из строя одной из них зависит от того, в каком состоянии находится другая. Вероятность одного события , вычисленная в предположении осуществления другого события , называется условной вероятностью события и обозначается .

Условие независимости события от события записывают в виде , а условие его зависимости - в виде . Рассмотрим пример вычисления условной вероятности события.

Пример 4. В ящике находятся 5 резцов: два изношенных и три новых. Производится два последовательных извлечения резцов. Определить условную вероятность появления изношенного резца при втором извлечении при условии, что извлеченный в первый раз резец в ящик не возвращается.

Решение. Обозначим извлечение изношенного резца в первом случае, а - извлечение нового. Тогда . Поскольку извлеченный резец в ящик не возвращается, то изменяется соотношение между количествами изношенных и новых резцов. Следовательно, вероятность извлечения изношенного резца во втором случае зависит от того, какое событие осуществилось перед этим.

Обозначим событие, означающее извлечение изношенного резца во втором случае. Вероятности этого события могут быть такими:

Следовательно, вероятность события зависит от того, произошло или нет событие .

Пло́тность вероя́тности - один из способов задания вероятностной меры на евклидовом пространстве . В случае, когда вероятностная мера является распределением случайной величины, говорят о плотности случайной величины .

Плотность вероятности Пусть является вероятностной мерой на, то есть определено вероятностное пространство, где обозначает борелевскую σ-алгебру на. Пусть обозначает меру Лебега на.

Определение 1. Вероятность называется абсолютно непрерывной (относительно меры Лебега) (), если любое борелевское множество нулевой меры Лебега также имеет вероятность ноль:

Если вероятность абсолютно непрерывна, то согласно теореме Радона-Никодима существует неотрицательная борелевская функция такая, что

,

где использовано общепринятое сокращение , и интеграл понимается в смысле Лебега.

Определение 2. В более общем виде, пусть - произвольное измеримое пространство, а и - две меры на этом пространстве. Если найдется неотрицательная , позволяющая выразить меру через меру в виде

то такую функцию называют плотностью меры по мере , или производной Радона-Никодима меры относительно меры , и обозначают

Иногда об этом прямо сказано в условии задачи, но чаще всего приходится проводить самостоятельный анализ. Какого-то однозначного ориентира тут нет, и факт зависимости либо независимости событий вытекает из естественных логических рассуждений.

Чтобы не валить всё в одну кучу, задачам на зависимые события я выделю следующий урок, а пока мы рассмотрим наиболее распространённую на практике связку теорем:

Задачи на теоремы сложения вероятностей несовместных
и умножения вероятностей независимых событий

Этот тандем, по моей субъективной оценке, работает примерно в 80% задач по рассматриваемой теме. Хит хитов и самая настоящая классика теории вероятностей:

Задача 5

Два стрелка сделали по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадания для первого стрелка равна 0,8, для второго – 0,6. Найти вероятность того, что:

а) только один стрелок попадёт в мишень;
б) хотя бы один из стрелков попадёт в мишень.

Решение : вероятность попадания/промаха одного стрелка, очевидно, не зависит от результативности другого стрелка.

Рассмотрим события: А 1 – 1-й стрелок попадёт в мишень;

А 2 – 2-й стрелок попадёт в мишень.

По условию: Р (А 1 ) = 0,8; Р (А 2 ) = 0,6.

Найдём вероятности противоположных событий – того, что соответствующие стрелки промахнутся:

1 - = 1 – 0,8 = 0,2;

1 - = 1 – 0,6 = 0,4;

а) Рассмотрим событие: В – только один стрелок попадёт в мишень. Данное событие состоит в двух несовместных исходах:

1-й стрелок попадёт и 2-й промахнётся
или
1-й промахнётся и 2-й попадёт.

На языке алгебры событий этот факт запишется следующей формулой: В = +

Сначала используем теорему сложения вероятностей несовместных событий, затем – теорему умножения вероятностей независимых событий:

Р(В) =Р( + ) = + Р( ) + Р( ) = Р( ) × Р( ) +Р( ) × Р( ) =

0,8 × 0,4 + 0,2 × 0,6 = 0,32 + 0,12 = 0,44 – вероятность того, что будет только одно попадание.

б) Рассмотрим событие: С – хотя бы один из стрелков попадёт в мишень.

Прежде всего, ВДУМАЕМСЯ – что значит условие «ХОТЯ БЫ ОДИН»? В данном случае это означает, что попадёт или 1-й стрелок (2-й промахнётся) или 2-й (1-й промахнётся) или оба стрелка сразу – итого 3 несовместных исхода.

Способ первый : учитывая готовую вероятность предыдущего пункта, событие удобно представить в виде суммы следующих несовместных событий:

попадёт кто-то один (событие В, состоящее в свою очередь из 2-х несовместных исходов) или
попадут оба стрелка – обозначим данное событие буквой D .

Таким образом: C = B + D .

P (D) = P(А 1 А 2) = P(А 1) × P(А 2) = 0,8 × 0,6 = 0,48 – вероятность того, что 1-й стрелок попадёт и 2-ой стрелок попадёт.

По теореме сложения вероятностей несовместных событий:

Р(C) = Р(B + D) = Р(B) + Р(D) = 0,44 + 0,48 = 0,92. – вероятность хотя бы одного попадания по мишени.

Способ второй : рассмотрим противоположное событие: – оба стрелка промахнутся.

По теореме умножения вероятностей независимых событий:

Р() = Р () = Р () × Р () = 0,2 × 0,4 = 0,08.

В результате: Р(С) = 1 – Р() = 1 – 0,08 = 0,92.

Особое внимание обратите на второй способ – в общем случае он более рационален.

Кроме того, существует альтернативный, третий путь решения, основанный на теореме, которая будет рассмотрена на следующем уроке: теореме сложения совместных событий.

! Если вы знакомитесь с материалом впервые, то во избежание путаницы, следующий абзац лучше пропустить.

Способ третий : события А 1 и А 2 совместны, а значит, их сумма А 1 + А 2 выражает событие «хотя бы один стрелок попадёт в мишень» (см. алгебру событий ). По теореме сложения вероятностей совместных событий и теореме умножения вероятностей независимых событий:

Р(А 1 + А 2) = Р(А 1) + Р(А 2) –Р(А 1 × А 2) = Р(А 1) + Р(А 2) – Р(А 1) × Р(А 2) =

= 0,8 + 0,6 – 0,8 × 0,6 = 1,4 – 0,48 = 0,92

Выполним проверку: события , В и D (0, 1 и 2 попадания соответственно) образуют полную группу, поэтому сумма их вероятностей должна равняться единице:

Р() + Р(В) + Р(D) = 0,08 + 0,44 + 0,48 = 1, что и требовалось проверить.

Ответ : а) вероятность того, что только один стрелок попадёт в мишень, равна 0,44,

б) вероятность того, что хотя бы один из стрелков попадёт в мишень, равна 0,92

На практике можно пользоваться любым вариантом оформления. Конечно же, намного чаще идут коротким путём, но не нужно забывать и 1-й способ – он хоть и длиннее, но зато содержательнее – в нём понятнее, что, почему и зачем складывается и умножается.

Похожие задачи:

Задача 6 для самостоятельного решения

Для сигнализации о возгорании установлены два независимо работающих дат­чика. Вероятности того, что при возгорании датчик сработает, для первого и второго датчиков соответственно равны 0,5 и 0,7. Найти вероятность того, что при пожаре:

а) оба датчика откажут;
б) оба датчика сработают.
в) Пользуясь теоремой сложения вероятностей событий, образующих полную группу , найти вероятность того, что при пожаре сработает только один датчик. Проверить результат прямым вычислением этой вероятности (с помощью теорем сложения и умножения) .

Здесь независимость работы устройств непосредственно прописана в условии, что, кстати, является важным уточнением. Образец решения оформлен в академичном стиле.

Как быть, если в похожей задаче даны одинаковые вероятности, например, 0,9 и 0,9? Решать нужно точно так же!

Задача 7

Стрелок попадает в цель с одной и той же вероятностью при каждом выстреле. Какова эта вероятность, если вероятность хотя бы одного попадания при трех выстрелах равна 0,973.

Решение : обозначим через – вероятность попадания в мишень при каждом выстреле.
и через – вероятность промаха при каждом выстреле.

И таки распишем события:
– при 3-х выстрелах стрелок попадёт в мишень хотя бы один раз;
– стрелок 3 раза промахнётся.

По условию , тогда вероятность противоположного события:

С другой стороны, по теореме умножения вероятностей независимых событий:

Таким образом:

– вероятность промаха при каждом выстреле.

В результате:
– вероятность попадания при каждом выстреле.

Ответ : 0,7

Просто и изящно.

Решения и ответы :

Задача 2: В коробке 10 красных и 6 синих пуговиц. Наудачу извлекаются две пуговицы. Какова вероятность того, что они будут одноцветными?

Решение : всего: 10 + 6 = 16 пуговиц в коробке.
способами можно извлечь 2 пуговицы из коробки;
способами можно извлечь 2 красные пуговицы;
способами можно извлечь 2 синие пуговицы.
По классическому определению:
– вероятность того, что из коробки будут извлечены две красные пуговицы;
– вероятность того, что из коробки будут извлечены две синие пуговицы.
По теореме сложения вероятностей несовместных событий:
– вероятность того, что из коробки будут извлечены две одноцветные пуговицы.
Ответ : 0,5

Задача 4: В трех урнах имеется по 6 белых и по 4 черных шара. Из каждой урны извлекают наудачу по одному шару. Найти вероятность того, что: а) все три шара будут белыми; б) все три шара будут одного цвета.

Решение : рассмотрим события: – из 1-й, 2-й и 3-й урны соответственно будет извлечён белый шар. По классическому определению вероятности:

Тогда вероятности извлечения чёрного шара из соответствующих урн равны:

а) Рассмотрим событие: – из каждой урны будет извлечено по 1-му белому шару.
Данное событие выражается в виде произведения (из 1-й урны будет извлечён БШ и из 2-ой урны будет извлечён БШ и из 3-й урны будет извлечён БШ).
По теореме умножения вероятностей независимых событий: